Aux rotations et symétries près, il n’existe qu’une façon de remplir le carré.
Comme souvent, avec ce type d’énigme, il est possible de parvenir à la solution par essais et tâtonnements. Voici toutefois un raisonnement direct permettant d’aboutir à la solution.
Notons S la somme commune que l’on obtient si on additionne quatre cases en carré et notons C le nombre de la case centrale. Si on additionne les cases du grand carré, celle du carré en diagonal et la case centrale, on obtient S + S + C = 2S + C. Or cette somme est également la somme de tous les nombres de la grille, c’est-à-dire la somme de tous les nombres de 1 à 9, ce qui vaut 45. On a donc une première équation : 2S + C = 45.
Additionnons maintenant les quatre petits carrés, on trouve 4 × S. Mais en décortiquant cette addition, on réalise qu’on a compté une fois chaque case du grand carré, deux fois chaque case du carré en diagonale (car ces cases appartiennent à deux petits carrés à la fois) et quatre fois la case centrale. La somme vaut donc également S + 2 × S + 4 × C. On a donc 4 × S = S + 2 × S + 4 × C, d’où on déduit une deuxième équation : S = 4 × C.
En résolvant ces deux équations, on trouve C = 5 et S = 20.
Cherchons maintenant à placer le 9. Quel que soit son emplacement, il y aura au moins un petit carré qui contient le 5 et le 9. Pour faire une somme de 20, il manque donc 6 dans ce petit carré, ce qui ne peut s’obtenir que par 2 et 4. Comme il n’y a qu’une façon de compléter le carré avec 9 et 5, le 9 est forcément dans un coin de la grille (sans cela il aurait deux carrés communs avec le 5). A rotation et symétrie près, on peut donc placer le 9, le 2 et le 4. Les autres cases se déduisent de proche en proche en complétant les carrés.
