Les deux livres, l’énigme maths du « Monde » n° 69

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Si nous notons N le nombre de pages fausses dans le premier livre, alors toutes les pages jusqu’à la page N disent vrai (il y a bel et bien au moins k phrases fausses si k est inférieur à N) et toutes celles après sont fausses. Il y a donc N phrases vraies et 1 000-N phrases fausses. Le nombre de pages fausses est donc à la fois égal à N (par définition) et à 1 000-N (par le raisonnement précédent). On obtient alors l’équation N = 1 000-N qui donne N = 500. Les 500 premières pages du livre sont vraies et les 500 dernières sont fausses.
Concernant le deuxième livre, notons M le nombre de phrases fausses. Alors toutes les phrases sont fausses jusqu’à la page M et vraies au-delà. La proportion de phrases fausses est donc égale à M/1 000. Or, puisque la page M est fausse et que la page M + 1 est vraie, leurs phrases affirment que la proportion de pages fausses se trouve entre 1/(M + 1) et 1/(M + 2). On peut résoudre l’équation 1/(M + 1) = M/1 000 pour obtenir l’approximation M ≈ 31,12. Il convient alors d’arrondir à l’entier inférieur : M = 31. De façon plus approximative, on pouvait s’attendre à ce que la solution tourne autour de √1 000 ≈ 31,6 : aux arrondis près, la page √1 000 affirme qu’il y a une proportion 1/√1 000 de phrases fausses et √1 000/1 000 est bien égal à 1/√1 000.